FUNGSI EKSPONEN

FUNGSI EKSPONEN DAN PENERAPANNYA

Pernahkah kamu mendengar tentang peramalan jumlah penduduk di masa yang akan datang? Dalam merencanakan pembangunan jangka panjang di berbagai bidang, pemerintah perlu meramalkan jumlah penduduk beberapa tahun ke depan untuk menjamin peningkatan pertumbuhan ekonomi, ketersediaan sumber daya alam dan fasilitas umum.

Jumlah penduduk dapat diramalkan berdasarkan pertumbuhan penduduk tiap tahunnya. Dalam proses peramalan inilah matematika berperan. Perhitungan matematis dilakukan dengan menggunakan fungsi eksponen. Fungsi eksponen tidak hanya diterapkan untuk meramalkan jumlah penduduk, tetapi juga pada peluruhan radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di bank dan sebagainya. Mari mengenal dan memahami fungsi eksponen melalui topik kali ini.

Kamu telah belajar mengenai eksponen/bentuk pangkat di kelas X. Apakah kamu masih ingat? Mari kita ingat kembali mengenai eksponen.

Definisi Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Untuk a bilangan real dan n bilangan bulat positif berlaku

aⁿ dibaca “a pangkat n” disebut bilangan berpangkat (bilangan eksponen), a disebut bilangan pokok (basis), dan n disebut pangkat (eksponen)
Sifat-Sifat Eksponen
Jika a dan b adalah bilangan real tak nol, sedangkan p dan q adalah bilangan rasional, maka berlaku hubungan sebagai berikut :

Lalu, apa perbedaan antara fungsi eksponen dengan eksponen/bentuk pangkat? Fungsi eksponen merupakan bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi, sedangkan eksponen pangkatnya adalah bilangan rasional. Mari pelajari lebih lanjut tentang fungsi eksponen.

Definisi Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum y = f (x) = ka^x dengan x ϵ Ɍ, kdan a suatu konstanta dan a > 0 serta a ≠ 0.
Agar kamu lebih paham cara membedakan fungsi yang termasuk fungsi eksponen, perhatikan beberapa fungsi berikut.
f (x) = 8 ^x (fungsi eksponen)
f (x) = x ⁸ (bukan fungsi eksponen)
f (x) = (12)x (fungsi eksponen)
Sifat-Sifat Fungsi Eksponen
• Diketahui fungsi eksponen y = f (x) = ka^x, maka domainnya (daerah asalnya) adalah himpunan seluruh bilangan nyata, D_f = {x | x ϵ Ɍ}.
• Daerah hasilnya (rangenya) adalah himpunan seluruh bilangan nyata (real) positif, R_f = {y | y > 0, y ϵ Ɍ}.
• Grafik fungsinya selalu memotong sumbu y di titik (0, 1).
• Fungsi f (x) = a^x merupakan fungsi naik untuk a > 1 dan merupakan fungsi turun untuk 0 < a < 1, serta merupakan fungsi konstan untuk a = 1.
• Grafik fungsi tidak bisa memotong sumbu x . Sumbu x merupakan asimtot datar.

Bentuk-Bentuk Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen dibagi menjadi dua, yaitu:
• Berbentuk f (x) = a ^x dengan a > 1, a ϵ Ɍ dan x ϵ Ɍ.
Fungsi Eksponen f (x) = a ^x untuk a > 1 disebut sebagai fungsi monoton naik, sebab jika x₁ < x₂maka a^x₁ < a^x₂.
Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam pertidaksamaan yang lebih umum, sebagai berikut:

• Berbentuk f (x) = a ^x dengan 0 < a < 1, a ϵ Ɍ dan x ϵ Ɍ.
Fungsi Eksponen f (x) = a ^x untuk 0 < a < 1 disebut sebagai fungsi monoton turun, sebab jika x₁> x₂ maka a^x₁ > a^x₂.
Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam pertidaksamaan yang lebih umum, sebagai berikut:

Penerapan Fungsi Eksponen

• Fungsi Pertumbuhan Eksponensial
y = b. a ^x dengan a = 1 + r
Keterangan:
b = jumlah awal (ketika x = 0)
a = faktor pertumbuhan (a > 1)
r = laju pertumbuhan per selang waktu T.
y = jumlah setelah selang waktu t
x = fraksi dengan x = tT
• Fungsi Penyusutan Eksponensial
y = b. a ^x dengan a = 1 – r
Keterangan:
b = jumlah awal (ketika x = 0)
a = faktor penyusutan (0 < a < 1)
r = laju penyusutan per selang waktu T.
y = jumlah setelah selang waktu t
x = fraksi dengan x = tT
• Fungsi Peluruhan Radioaktif
m = m₀ × (12)n
Keterangan:
m = massa setelah selang waktu t.
m₀ = massa awal
n = tT
t = selang waktu
T = waktu paruh

Mari kita cermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1

Tentukan nilai a jika grafik fungsi f (x) = a ^x melalui titik:
• P = ( 2, 14)
• Q = (3, 8)
Penyelesaian:
• P = ( 2, 14)

• Q = (3, 8)

Contoh 2

Diketahui jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2010 sekitar 230 juta jiwa dengan laju pertumbuhannya 2% pertahun.
• Tulis persamaan untuk memodelkan jumlah penduduk Indonesia.
• Tentukan jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2020.
Penyelesaian:
• Model jumlah penduduk Indonesia.
Oleh karena laju pertumbuhan penduduk = 2% pertahun artinya jumlah penduduk selalu meningkat, maka gunakan fungsi pertumbuhan eksponensial, yaitu:
y = b. a ^x dengan a = 1 + r
Misal:
b = jumlah penduduk pada tahun 2010 = 230.000.000
r = laju pertumbuhan pertahun = 2% = 0,02
a = faktor pertumbuhan = 1 + r = 1 + 0,02 = 1,02.
Dengan demikian, jumlah penduduk Indonesia bisa dimodelkan sebagai:

• Pada tahun 2020 berarti:
t = lama waktu pertumbuhan = 2020 – 2010 = 10 tahun
T = selang waktu pertumbuhan = 1 tahun

Jadi, jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2020 sekitar 280.368.717 jiwa.

Contoh 3

Kolera, penyakit yang menyerang usus, disebabkan oleh bakteri kolera yang berkembang biak secara eksponensial dengan membelah selnya dan dinyatakan dengan N = N₀. e ^1,386t. N adalah jumlah bakteri yang muncul setelah t jam dan N₀ adalah jumlah bakteri pada permulaan (t = 0). Jika di awal terdapat 25 bakteri, tentukan banyak bakteri (dalam satuan terdekat) yang akan muncul dalam waktu:
• 0,6 jam
• 3,5 jam
Penyelesaian:
Substitusikan, N₀ = 25 ke persamaan, maka diperoleh
N = 25. e^1,386t
• Nilai N ketika t = 0,6

• Nilai N ketika t = 3,5

Sumber :http://bahasapedia.com/fungsi-eksponen-dan-penerapannya/